Coverage for local/lib/python2.7/site-packages/sage/schemes/product_projective/homset.py : 62%

r""" 

Set of homomorphisms 

""" 

#***************************************************************************** 

# Copyright (C) 2014 Volker Braun <vbraun.name@gmail.com> 

# Ben Hutz <bn4941@gmail.com> 

# 

# Distributed under the terms of the GNU General Public License (GPL) 

# as published by the Free Software Foundation; either version 2 of 

# the License, or (at your option) any later version. 

# http://www.gnu.org/licenses/ 

#***************************************************************************** 

from sage.categories.fields import Fields 

from sage.categories.number_fields import NumberFields 

from sage.misc.mrange import xmrange 

from sage.rings.finite_rings.finite_field_constructor import is_FiniteField 

from sage.schemes.generic.homset import SchemeHomset_points 

class SchemeHomset_points_product_projective_spaces_ring(SchemeHomset_points): 

r""" 

Set of rational points of a product of projective spaces. 

INPUT: 

See :class:`~sage.schemes.generic.homset.SchemeHomset_generic`. 

EXAMPLES:: 

sage: from sage.schemes.product_projective.homset import SchemeHomset_points_product_projective_spaces_ring 

sage: SchemeHomset_points_product_projective_spaces_ring(Spec(QQ), \ 

ProductProjectiveSpaces([1, 1], QQ, 'z')) 

Set of rational points of Product of projective spaces P^1 x P^1 over Rational Field 

""" 

def _element_constructor_(self, v, **kwds): 

r""" 

The element constructor. 

INPUT: 

- ``v`` -- anything that determines a scheme morphism in the Hom-set. 

OUTPUT: 

The scheme morphism determined by ``v``. 

EXAMPLES:: 

sage: P = ProductProjectiveSpaces([1, 1], ZZ, 'z') 

sage: Q = P([4, 6, 6, 2]); Q 

(4 : 6 , 6 : 2) 

sage: type(Q) 

<class 'sage.schemes.product_projective.point.ProductProjectiveSpaces_point_ring'> 

sage: P(QQ)._element_constructor_([4, 2, 2, 0]) 

(4 : 2 , 2 : 0) 

""" 

return self.codomain()._point(self, v, **kwds) 

class SchemeHomset_points_product_projective_spaces_field(SchemeHomset_points_product_projective_spaces_ring): 

def points(self, B=0, prec=53): 

r""" 

Return some or all rational points of a projective scheme. 

Over a finite field, all points are returned. Over an infinite field, all points satisfying the bound 

are returned. For a zero-dimensional subscheme, all points are returned regardless of whether the base 

ring is a field or not. 

INPUT: 

- `B` -- integer (optional, default=0). The bound for the 

coordinates. 

- ``prec`` - the precision to use to compute the elements of bounded height for number fields. 

OUTPUT: 

- a list of rational points of a projective scheme. 

.. WARNING:: 

In the current implementation, the output of the [Doyle-Krumm]_ algorithm 

cannot be guaranteed to be correct due to the necessity of floating point 

computations. In some cases, the default 53-bit precision is 

considerably lower than would be required for the algorithm to 

generate correct output. 

EXAMPLES:: 

sage: P.<x,y,z,w> = ProductProjectiveSpaces([1, 1], QQ) 

sage: X = P.subscheme([x - y, z^2 - 2*w^2]) 

sage: X(P.base_ring()).points() 

[] 

:: 

sage: u = QQ['u'].0 

sage: P.<x,y,z,w> = ProductProjectiveSpaces([1,1], NumberField(u^2 - 2, 'v')) 

sage: X = P.subscheme([x^2 - y^2, z^2 - 2*w^2]) 

sage: X(P.base_ring()).points() 

[(-1 : 1 , -v : 1), (1 : 1 , v : 1), (1 : 1 , -v : 1), (-1 : 1 , v : 1)] 

:: 

sage: u = QQ['u'].0 

sage: K = NumberField(u^2 + 1, 'v') 

sage: P.<x,y,z,w> = ProductProjectiveSpaces([1, 1], K) 

sage: P(K).points(1) 

[(0 : 1 , 0 : 1), (0 : 1 , v : 1), (0 : 1 , -1 : 1), (0 : 1 , -v : 1), (0 : 1 , 1 : 1), 

(0 : 1 , 1 : 0), (v : 1 , 0 : 1), (v : 1 , v : 1), (v : 1 , -1 : 1), (v : 1 , -v : 1), 

(v : 1 , 1 : 1), (v : 1 , 1 : 0), (-1 : 1 , 0 : 1), (-1 : 1 , v : 1), (-1 : 1 , -1 : 1), 

(-1 : 1 , -v : 1), (-1 : 1 , 1 : 1), (-1 : 1 , 1 : 0), (-v : 1 , 0 : 1), (-v : 1 , v : 1), 

(-v : 1 , -1 : 1), (-v : 1 , -v : 1), (-v : 1 , 1 : 1), (-v : 1 , 1 : 0), (1 : 1 , 0 : 1), 

(1 : 1 , v : 1), (1 : 1 , -1 : 1), (1 : 1 , -v : 1), (1 : 1 , 1 : 1), (1 : 1 , 1 : 0), 

(1 : 0 , 0 : 1), (1 : 0 , v : 1), (1 : 0 , -1 : 1), (1 : 0 , -v : 1), (1 : 0 , 1 : 1), 

(1 : 0 , 1 : 0)] 

:: 

sage: P.<x,y,z,u,v> = ProductProjectiveSpaces([2, 1], GF(3)) 

sage: P(P.base_ring()).points() 

[(0 : 0 : 1 , 0 : 1), (1 : 0 : 1 , 0 : 1), (2 : 0 : 1 , 0 : 1), (0 : 1 : 1 , 0 : 1), (1 : 1 : 1 , 0 : 1), 

(2 : 1 : 1 , 0 : 1), (0 : 2 : 1 , 0 : 1), (1 : 2 : 1 , 0 : 1), (2 : 2 : 1 , 0 : 1), (0 : 1 : 0 , 0 : 1), 

(1 : 1 : 0 , 0 : 1), (2 : 1 : 0 , 0 : 1), (1 : 0 : 0 , 0 : 1), (0 : 0 : 1 , 1 : 1), (1 : 0 : 1 , 1 : 1), 

(2 : 0 : 1 , 1 : 1), (0 : 1 : 1 , 1 : 1), (1 : 1 : 1 , 1 : 1), (2 : 1 : 1 , 1 : 1), (0 : 2 : 1 , 1 : 1), 

(1 : 2 : 1 , 1 : 1), (2 : 2 : 1 , 1 : 1), (0 : 1 : 0 , 1 : 1), (1 : 1 : 0 , 1 : 1), (2 : 1 : 0 , 1 : 1), 

(1 : 0 : 0 , 1 : 1), (0 : 0 : 1 , 2 : 1), (1 : 0 : 1 , 2 : 1), (2 : 0 : 1 , 2 : 1), (0 : 1 : 1 , 2 : 1), 

(1 : 1 : 1 , 2 : 1), (2 : 1 : 1 , 2 : 1), (0 : 2 : 1 , 2 : 1), (1 : 2 : 1 , 2 : 1), (2 : 2 : 1 , 2 : 1), 

(0 : 1 : 0 , 2 : 1), (1 : 1 : 0 , 2 : 1), (2 : 1 : 0 , 2 : 1), (1 : 0 : 0 , 2 : 1), (0 : 0 : 1 , 1 : 0), 

(1 : 0 : 1 , 1 : 0), (2 : 0 : 1 , 1 : 0), (0 : 1 : 1 , 1 : 0), (1 : 1 : 1 , 1 : 0), (2 : 1 : 1 , 1 : 0), 

(0 : 2 : 1 , 1 : 0), (1 : 2 : 1 , 1 : 0), (2 : 2 : 1 , 1 : 0), (0 : 1 : 0 , 1 : 0), (1 : 1 : 0 , 1 : 0), 

(2 : 1 : 0 , 1 : 0), (1 : 0 : 0 , 1 : 0)] 

""" 

X = self.codomain() 

from sage.schemes.product_projective.space import is_ProductProjectiveSpaces 

if not is_ProductProjectiveSpaces(X) and X.base_ring() in Fields(): 

# no points 

if X.dimension() == -1: 

return [] 

# if X is zero-dimensional 

if X.dimension() == 0: 

points = set() 

# find points from all possible affine patches 

for I in xmrange([n + 1 for n in X.ambient_space().dimension_relative_components()]): 

[Y,phi] = X.affine_patch(I, True) 

aff_points = Y.rational_points() 

for PP in aff_points: 

points.add(phi(PP)) 

return list(points) 

R = self.value_ring() 

points = [] 

if R in NumberFields(): 

if not B > 0: 

raise TypeError("a positive bound B (= %s) must be specified"%B) 

for P in X.ambient_space().points_of_bounded_height(B, prec): 

try: 

points.append(X(P)) 

except TypeError: 

pass 

return points 

if is_FiniteField(R): 

for P in X.ambient_space().rational_points(): 

try: 

points.append(X(P)) 

except TypeError: 

pass 

return points 

else: 

raise TypeError("unable to enumerate points over %s"%R)